反演变换

What · 是什么

反演变换（Inversion）：给定反演中心 O 与反演半径 R，点 P 的反演点 P' 满足 P' 在射线 OP 上且 |OP|·|OP'| = R²。关键性质：① 过 O 的直线仍为过 O 的直线，不过 O 的直线变为过 O 的圆，过 O 的圆变为不过 O 的直线，不过 O 的圆仍为不过 O 的圆（圆心与半径有公式）；② 反演是保角变换（交角不变），相切关系保持；③ O 上的点不变。因此，圆/直线相切类问题（如'过一点与两圆相切的圆'）可在反演后变成'求两圆公切线'等简单问题。典型应用：Apollonius 圆问题、Soddy 圆、插入圆半径。

Why · 为什么

How · 实现

伪代码

# 点反演: inv(P) = O + R² * (P-O) / |P-O|²
# 圆反演（不过 O）: 记 OA=|A-O|, r 为半径
d   = OA
r2  = 0.5 * (1/(d-r) - 1/(d+r)) * R²
d2  = d * r2 / r
A'  = O + (A-O) * (d2 / d)
返回 (A', r2)

# 直线反演为过 O 的圆: 取 O 到直线垂足 P, 距离 h
r' = R² / (2h); 圆心在 OP 方向, 距 O 为 r'

# 使用流程
1) 选反演中心 O（常为'过某点'的切圆问题取该点）
2) 对已知圆做反演
3) 求反演后图形的公切线/交点
4) 把结果反演回原平面

Python 实现

# -*- coding: utf-8 -*-
import math


def invert_point(P, O, R):
    """点 P 关于圆心 O 半径 R 的反演点。"""
    dx = P[0] - O[0]
    dy = P[1] - O[1]
    d2 = dx*dx + dy*dy
    if d2 < 1e-30:
        return None
    k = R * R / d2
    return (O[0] + dx * k, O[1] + dy * k)


def invert_circle(circle, O, R):
    """不过 O 的圆 (圆心, 半径) 的反演圆。返回 (圆心, 半径)。"""
    cx, cy, r = circle
    d = math.hypot(cx - O[0], cy - O[1])
    if abs(d - r) < 1e-12:
        return None          # 过 O 的圆反演成直线
    r2 = 0.5 * (1/(d - r) - 1/(d + r)) * R * R
    d2 = d * r2 / r
    nx = O[0] + (cx - O[0]) * (d2 / d)
    ny = O[1] + (cy - O[1]) * (d2 / d)
    return (nx, ny, r2)


def line_from_circle_through_O(circle, O):
    """过 O 的圆反演为直线：返回 (线上一点, 方向向量)。
    利用圆与以 O 为圆心的任一圆交点的连线方向。
    """
    cx, cy, r = circle
    # 圆过 O, 取圆上与 O 相对的直径端点 T = 2*C - O
    tx = 2*cx - O[0]
    ty = 2*cy - O[1]
    dirv = (tx - O[0], ty - O[1])      # 方向 = 直径方向
    # 直线上另一点: 取圆上异于 O 的任意点
    d = math.hypot(tx - O[0], ty - O[1])
    perp = (-dirv[1]/d, dirv[0]/d)
    p = (cx + perp[0] * r, cy + perp[1] * r)
    return (p, dirv)


if __name__ == '__main__':
    # 反演两次回到自身
    P = (3.0, 4.0)
    O = (0.0, 0.0)
    R = 2.0
    P1 = invert_point(P, O, R)
    P2 = invert_point(P1, O, R)
    assert abs(P2[0]-P[0]) < 1e-9 and abs(P2[1]-P[1]) < 1e-9, (P2, P)
    # 单位圆反演半径为 1 的圆(圆心(2,0) r=1) -> 半径 = 1/(2-1) - ... 计算校验
    c = invert_circle((2.0, 0.0, 1.0), (0.0, 0.0), 1.0)
    assert c is not None
    # 反演保持相切：两圆在 (3,0) 相切（且 (3,0) 不是 O），反演后仍相切
    c1 = invert_circle((2.0, 0.0, 1.0), (0.0, 0.0), 2.0)
    c2 = invert_circle((4.0, 0.0, 1.0), (0.0, 0.0), 2.0)
    d = math.hypot(c1[0]-c2[0], c1[1]-c2[1])
    assert abs(d - (c1[2]+c2[2])) < 1e-9 or abs(d - abs(c1[2]-c2[2])) < 1e-9, (d, c1, c2)
    print('geometric-inverse all tests passed')

易错点

• 反演中心选在'过某点'问题的该点上，否则不构成直线化
• 过反演中心的圆 → 直线，别当成普通圆处理
• 相切关系在反演下保持，但切点在 O 上的相切是例外（需注意）
• 反演半径 R 可任取，通常取便于计算的值（如点到图形距离）
• 浮点误差：圆半径接近 0 或过 O 时放大，需 eps 保护
• 反演回去时要判断哪个解对应原问题的有效解（如圆心在合法侧）

例题

信源

• OI Wiki✓ https://raw.githubusercontent.com/OI-wiki/OI-wiki/master/docs/geometry/inverse.md
• Wikipedia✓ https://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry