条件概率

What · 是什么

条件概率刻画'已知某事件发生时另一事件发生的概率'。定义 P(B|A)=P(AB)/P(A)（需 P(A)>0）。由定义直接推出概率乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)；当一组事件 A_i 两两不交且并为全集时，全概率公式 P(B)=ΣP(A_i)P(B|A_i) 把复杂事件拆成互斥子情形；贝叶斯公式 P(A_i|B)=P(A_i)P(B|A_i)/P(B) 由'果'反推'因'。这是概率DP与期望DP建模最常用的工具。

Why · 为什么

How · 实现

伪代码

# 条件概率
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)   # 要求 P(A)>0

# 概率乘法公式
P(A∩B) = P(A) * P(B|A)
P(A∩B∩C) = P(A)*P(B|A)*P(C|AB)

# 全概率公式 (A1..An 为 Ω 的一个划分)
P(B) = sum_i P(A_i) * P(B|A_i)

# 贝叶斯公式
P(A_i|B) = P(A_i)*P(B|A_i) / sum_j P(A_j)*P(B|A_j)

# 独立性判定
独立 ⇔ P(AB) = P(A)*P(B)

Python 实现

def conditional_probability(p_ab, p_a):
    """P(B|A) = P(AB) / P(A)"""
    assert p_a > 0, "条件事件概率必须为正"
    return p_ab / p_a


def multiplication_formula(p_a, p_b_given_a):
    """概率乘法公式: P(AB) = P(A)P(B|A)"""
    return p_a * p_b_given_a


def total_probability(partitions_p, cond_p):
    """全概率公式: P(B) = sum P(A_i)P(B|A_i)
    partitions_p 为划分事件概率, 必须和为1
    """
    assert len(partitions_p) == len(cond_p)
    assert abs(sum(partitions_p) - 1.0) < 1e-9, "划分概率之和必须为1"
    return sum(p * c for p, c in zip(partitions_p, cond_p))


def bayes(prior, likelihood):
    """贝叶斯公式: 由结果B反推各原因的概率
    prior=[P(A1)..P(An)], likelihood=[P(B|A1)..P(B|An)]
    返回后验概率列表与 P(B)
    """
    evidence_p = total_probability(prior, likelihood)
    posterior = [p * l / evidence_p for p, l in zip(prior, likelihood)]
    return posterior, evidence_p


def independence_check(p_ab, p_a, p_b):
    """事件独立判定: P(AB) == P(A)P(B)"""
    return abs(p_ab - p_a * p_b) < 1e-9


if __name__ == "__main__":
    # 骰子: A=偶点(1/2), AB=可被6整除即{6}(1/6)
    # P(B|A) = (1/6)/(1/2) = 1/3, 其中B=点数可被3整除
    assert abs(conditional_probability(1 / 6, 1 / 2) - 1 / 3) < 1e-9
    assert abs(multiplication_formula(0.5, 1 / 3) - 1 / 6) < 1e-9

    # 全概率: 两工厂各占50%产量, 次品率2%/3% -> P(次品)=2.5%
    ev = total_probability([0.5, 0.5], [0.02, 0.03])
    assert abs(ev - 0.025) < 1e-9

    # 贝叶斯: 抽到次品来自工厂1的概率 = 0.5*0.02/0.025 = 0.4
    post, evidence = bayes([0.5, 0.5], [0.02, 0.03])
    assert abs(evidence - 0.025) < 1e-9
    assert abs(post[0] - 0.4) < 1e-9

    # 独立性: 两骰子各掷出6 独立
    assert independence_check(1 / 36, 1 / 6, 1 / 6)
    # 不独立: A=骰子=6(1/6), B=骰子为奇数(1/2), 两者不可能同时发生
    assert not independence_check(0, 1 / 6, 1 / 2)

    print("conditional-probability all tests passed")

易错点

• 条件概率中 P(A) 必须大于 0，P(A)=0 时条件概率无定义
• 全概率公式要求划分事件两两不交且并集为全集，缺一不可
• 事件两两独立推不出相互独立（正四面体骰子反例）
• 贝叶斯公式的'证据' P(B) 需用全概率公式计算，勿直接当已知数

例题

信源

• OI Wiki✓ https://oi-wiki.org/math/probability/conditional-probability/
• 书籍✓ CPH ch24 Probability (p235-244)