随机变量

What · 是什么

随机变量 X 是定义在样本空间 Ω 上的实值函数 X:Ω→R，且满足可测性条件（对任意 t，{ω:X(ω)≤t}∈F）。按值域是否可数分为离散型（用分布列 P{X=x_i}=p_i 刻画）与连续型（用密度函数 f(x) 刻画，F(x)=∫f(x)dx）。分布函数 F(x)=P(X≤x) 与随机变量一一对应。它是把'事件'代数化、从而能用函数工具（求和/积分）处理随机现象的桥梁，是概率DP建模的核心建模工具。

Why · 为什么

How · 实现

伪代码

# 离散型: 分布列
X 取 x_i 的概率为 p_i, 要求 sum p_i = 1

# 连续型: 密度函数
P(a < X <= b) = ∫_a^b f(x) dx
F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt

# 示性函数 (事件->0/1随机变量)
I_A(ω) = 1 if ω∈A else 0
E[I_A] = P(A)

# 独立性 (用分布函数定义)
X⊥Y ⇔ F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) 对所有x,y

Python 实现

import math


def bernoulli_pmf(p, k):
    """伯努利分布 P(X=k), k∈{0,1}, X 表示单次试验成功次数"""
    assert 0 <= p <= 1 and k in (0, 1)
    return p if k == 1 else (1 - p)


def binomial_pmf(n, p, k):
    """二项分布 P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
    X 表示 n 次独立试验中成功次数
    """
    assert 0 <= k <= n and 0 <= p <= 1
    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))


def cdf_empirical(data, x):
    """经验分布函数: F(x) = P(X<=x) 的样本估计"""
    return sum(1 for v in data if v <= x) / len(data)


def indicator_expectation(p_a):
    """示性函数期望 E[I_A]=P(A)"""
    return p_a


def independence_by_cdf(p_xy, p_x, p_y):
    """按分布函数判定独立: F(x,y) == F_X(x)F_Y(y)"""
    return abs(p_xy - p_x * p_y) < 1e-9


if __name__ == "__main__":
    # 伯努利: p=0.3
    assert abs(bernoulli_pmf(0.3, 1) - 0.3) < 1e-9
    assert abs(bernoulli_pmf(0.3, 0) - 0.7) < 1e-9

    # 二项: 掷3次硬币恰2次正面 = C(3,2)(1/2)^3 = 3/8
    assert abs(binomial_pmf(3, 0.5, 2) - 0.375) < 1e-9
    # 二项分布概率和=1
    assert abs(sum(binomial_pmf(5, 0.3, k) for k in range(6)) - 1.0) < 1e-9

    # 经验分布: 样本 [1,2,2,3]
    data = [1, 2, 2, 3]
    assert abs(cdf_empirical(data, 2) - 0.75) < 1e-9

    # 示性函数期望
    assert abs(indicator_expectation(0.4) - 0.4) < 1e-9

    # 独立性: 独立时 P(x,y)=P(x)P(y)
    assert independence_by_cdf(0.3 * 0.4, 0.3, 0.4)
    assert not independence_by_cdf(0.3, 0.3, 0.4)

    print("random-variable all tests passed")

易错点

• 连续型随机变量 P(X=x)=0，判断独立性必须用分布函数而非单点概率
• 分布列概率之和必须为 1，建模时常忽略归一化
• 示性函数 E[I_A]=P(A) 是'概率转期望'的关键，方向勿搞反
• 两随机变量独立则其任意函数也独立，但 f(X,y) 与 f(X,Y) 分布未必相同

例题

信源

• OI Wiki✓ https://oi-wiki.org/math/probability/random-variable/
• 书籍✓ CPH ch24 Probability (p235-244)