组目录:排序与基础算法族栈队列与单调结构族堆与优先队列族并查集族区间查询与分块族线段树族可持久化数据结构族平衡二叉搜索树族高级树结构族哈希与链表族动态规划基础族DP优化族高级DP族搜索算法族图基础与遍历最短路族生成树族连通性族网络流族二分图与匹配族树算法族欧拉与哈密顿族图论高级专题字符串匹配族字典树与AC自动机族后缀结构族后缀自动机族回文族Lyndon与周期族数论基础族数论进阶族数论高级族组合计数基础族组合进阶族多项式与FFT族生成函数族线性代数族概率族数值方法族大整数与数制族凸包族平面扫描与几何求交计算几何基础与度量树链剖分与动态树可持久化数据结构分块与根号算法莫队算法族高级线段树与离线专题(topic 域)调度与其他专题IO与常数优化族位运算族Python竞赛特性族调试与对拍族随机化与元启发式族博弈论族离线与杂项技巧族竞赛策略族工具链族前沿趋势组
组简介
本组 8 个知识点，属于 数学 域，覆盖阶段 intermediate / advanced。
优先级分布：P0 ×2 · P1 ×4 · P2 ×2
阶段分布：advanced ×7 · intermediate ×1
节点目录 (8 个)
| 节点 ID | 名称 | 阶段 | 优先级 | 简介 | 例题数 |
|---|---|---|---|---|---|
| crt | 中国剩余定理(CRT) | intermediate | P0 | 求解同余方程组，将模互素的大模数分解为小模数合并，exCRT处理不互素 | 3 |
| bsgs | BSGS(大步小步) | advanced | P1 | O(sqrt(p))求离散对数a^x≡b(mod p)，baby-step giant-step算法 | 3 |
| primitive-root | 原根 | advanced | P1 | 模 p 下阶为 φ(p) 的元素 g，其幂次跑遍全部既约剩余系，是 NTT、离散对数与离散根的基础；最小原根 O(φ^(1/4) log^2) 求解 | 3 |
| discrete-root | 离散k次根 | advanced | P2 | 求 x^k≡a (mod p) 的全部解：以原根 g 作对数坐标把问题化为离散对数 (g^k)^y≡a，BSGS 求一个解后用阶的结构扩展出全部解 | 3 |
| lucas-theorem | 卢卡斯定理 | advanced | P0 | C(n,m) mod p（p 为素数）：按 p 进制拆 n,m 后各位组合数相乘，O(p) 预处理阶乘 + O(log_p n) 每次查询，大组合数取小素模的标准工具 | 3 |
| extended-lucas | 扩展卢卡斯(exLucas) | advanced | P1 | C(n,m) mod p 当 p 为合数时：分解 p=∏p_i^α_i，对每个素因子幂用『去 p 因子阶乘+Legendre 公式』求余，CRT 合并；处理任意模数组合数 | 3 |
| mobius-inversion | 莫比乌斯反演 | advanced | P1 | 利用莫比乌斯函数 μ(n) 进行数论反演，把 [gcd(i,j)=1] 条件展开为 Σμ(d)，将 gcd 计数问题转化为可整除分块的求和 | 3 |
| quadratic-residue | 二次剩余 | advanced | P2 | 求 x^2≡a (mod p) 的解：Euler 判别法判定存在性，Cipolla 算法 O(log p) 求根（引入 F_p[x]/(x^2-g) 扩域），Tonelli-Shanks 亦可用 | 3 |
学习路径提示
本组内存在 3 条前置依赖边（prerequisite），推荐先掌握前置知识点，再进入依赖它的节点。
推荐阅读顺序（拓扑序）
- 中国剩余定理(CRT) → 扩展卢卡斯(exLucas)exLucas将模数分解为质因子幂后用CRT合并
- 原根 → BSGS(大步小步)BSGS求离散对数需以原根为底
- 原根 → 离散k次根离散k次根通过原根转化为离散对数问题